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平面上任取三点到 x 轴上一点距离之和最小问题
问题重述
给定平面上任意三点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，在 $x$轴上求一点$P(p,0)$，使距离之和 $$ S(p)=|PA|+|PB|+|PC| $$ 取得最小值。要求给出 $P$点坐标的求法，并证明这样的$P$ 存在且唯一。
1. 数学建模
$P(p,0)$ 到三点的距离分别为 $$ \begin{aligned} |PA| &= \sqrt{(p-x_1)^2+y_1^2}, \newline |PB| &= \sqrt{(p-x_2)^2+y_2^2}, \newline |PC| &= \sqrt{(p-x_3)^2+y_3^2}. \end{aligned} $$ 目标函数为 $$ S(p)=\sum_{i=1}^{3}\sqrt{(p-x_i)^2+y_i^2},\quad p\in\mathbb R. $$ 该函数在 $\mathbb R$上连续，且当$|p|\to\infty$时$S(p)\to\infty$，故由闭区间上连续函数的性质，在任意有限闭区间上必存在最小值点，进而在整个 $\mathbb R$ 上最小值存在。
2. 唯一性证明
考虑每一项 $f_i(p)=\sqrt{(p-x_i)^2+y_i^2}$：
- 若 $y_i\neq 0$，则 $f_i''(p)=\frac{y_i^2}{\left[(p-x_i)^2+y_i^2\right]^{3/2}}>0$，$f_i$在$\mathbb R$ 上严格凸。
- 若 $y_i=0$，则 $f_i(p)=|p-x_i|$，是凸函数（非严格凸）。
因此 $S(p)$ 是三个凸函数之和，必定为凸函数。
唯一性的讨论：
- 若至少有一个点不在 $x$轴上（即存在某个$y_i\neq 0$），则 $S(p)$至少包含一个严格凸函数项，整体严格凸$\implies$ 最小值点唯一。
- 若 $A,B,C$三点均在$x$ 轴上，则 $$ S(p)=|p-x_1|+|p-x_2|+|p-x_3|. $$ 该函数为分段线性凸函数，最小值点为三个横坐标的中位数。
- 当三点互异时，中位数唯一 $\implies$ 最小值点唯一。
- 当有两点重合或三点重合时，中位数仍是该重合点，唯一。
综上，对任意给定的三点，$x$轴上使得$PA+PB+PC$最小的点$P$ 恒存在且唯一。
3. 极值条件与 $P$ 的求法
3.1 导数条件
当 $p$不是$x$轴上某些特殊点（如$p=x_i$且$y_i=0$ 的尖点）时，$S(p)$ 可导： $$ S'(p)=\frac{p-x_1}{\sqrt{(p-x_1)^2+y_1^2}} +\frac{p-x_2}{\sqrt{(p-x_2)^2+y_2^2}} +\frac{p-x_3}{\sqrt{(p-x_3)^2+y_3^2}}. $$ 令 $S'(p)=0$，即 $$ \sum_{i=1}^3 \frac{p-x_i}{|PA|}=0. $$ 它的几何意义是：从 $P$出发指向$A,B,C$的三个单位向量在$x$ 轴方向上的投影之和为零。
3.2 物理类比（力平衡）
若在 $A,B,C$处系有等重的小环，光滑绳索穿过$P$点，绳索在各点处施力的大小相等。平衡时$P$ 所受三力的水平分力之和为零，这正是上述方程。此模型可辅助理解极值条件。
3.3 数值求解
上述方程一般无解析解，推荐使用以下数值方法求解：
二分法
若存在某个区间 $[a,b]$使得$S'(a)\cdot S'(b)<0$，由于 $S'(p)$严格单调递增（当$S$ 严格凸时），可用二分法求唯一零点。- 可取 $a=\min\lbrace x_1,x_2,x_3\rbrace -M$，$b=\max\lbrace x_1,x_2,x_3\rbrace +M$，其中 $M$ 足够大以确保零点在内。
梯度下降 / 牛顿法
直接对凸函数 $S(p)$ 使用一维搜索，收敛快且保证全局最优。三点均在 $x$ 轴上的解析解
此时 $P$ 为三横坐标的中位数：
$p=\text{median}\lbrace x_1,x_2,x_3\rbrace $。
4. 总结
- 存在性：$S(p)$连续且$|p|\to\infty$ 时发散，必存在最小值点。
- 唯一性：$S(p)$为凸函数，且除三点全在$x$ 轴上这一退化情形外均为严格凸；即使退化，中位数也是唯一的，故最小值点唯一。
- 求法：极值条件为三个单位向量 $x$分量之和为零；通常使用二分法或牛顿法数值求解；三点均在$x$ 轴时取横坐标中位数。
此问题本质是限制在直线上的费马点问题，利用凸分析与单变量优化给出了完整的解析与解决方案。
推广见:高维空间中子空间上费马点的推广